Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

Посмотрим теперь, какими способами функция f k (r) может изменяться во времени.

Возможны процессы трех типов: 1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть v k — скорость носителя в состоянии k . Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t v k . Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t v k в момент времени 0: f k (r, t) = f k (r – tv k , 0). ( 35 ) Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть ¶ f k / ¶ t ] diff = – v k ¶ f k / ¶ r = – v k f k . (36) 2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству (37) Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k -пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем (38) следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью (39) (мы использовали здесь обозначение ¶ f k / ¶ k для градиента в k -пространстве — оператора k ). 3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция f k меняется со скоростью ¶ f k / ¶ t ] scatt = { f k' (1 – f k ) – f k (l – f k' )}Q(k, k') dk'. (40) Процесс рассеяния из состояния k в состояние k ' приводит к уменьшению f k . Вероятность этого процесса зависит от величины f k — числа носителей в состоянии k , и от разности (1 – f k ' ) — числа свободных мест в конечном состоянии.

Имеется также обратный процесс, переход из k ' в k , который ведет к увеличению функции f k ; он пропорционален величине f k ' (1 – f k ). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k '. Для каждой пары значений k и k ' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q ( k , k '), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k ' вакантно . Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k ' в k , поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции f k ( r ) равна нулю, т. е. ¶ f k / ¶ t ] scatt + ¶ f k / ¶ t ] field + ¶ f k / ¶ t ] diff = 0. (41) Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f 0 k , оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное рас пределение не слишком сильно отличается от равновесного.

Положим g k = f k – f 0 k . (42) где f 0 k = 1/{exp[( E k – z )/kT] + 1} (43) Здесь нужно проявить некоторую осторожность.

Именно, как определить функцию f 0 k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T ( r ), и положим gk(r)=f k (r) – f 0 k {3T(r)}. (44) Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например g k (r)dk = 0. (45) Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем – v k ¶ f k / ¶ r – e / (E + 1/c[ v k H]) ¶ f k / ¶ k = – ¶ f k / ¶ t] scatt , (46) или – v k ¶ f k / ¶ T T – e / ( E + 1/ c [ v k H ]) ¶ f 0 k / ¶ k = – ¶ f k / ¶ t ] scatt + v k ¶ g k / ¶ r + e / ( E + 1/ c [ v k H ]) ¶ g k / ¶ k . (47) С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде ( ¶ f 0 / ¶ E ) v k {( E (k) – z ) / T T + e (E – 1/e z )}= – ¶ f k / ¶ t] scatt + v k ¶ g k / ¶ r + e / c[ v k H] ¶ g k / ¶ k. (48) Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член ( E ¶ g k / ¶ k ) порядка E 2 , соответствующий отклонениям от закона Ома.

Отброшен также член v k [ v k H ] , тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убе диться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» g k ( r ) к функции распределения.

Функция g k ( r ) определяется интенсивностью электри ческого поля и величиной градиента температуры, входящими в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности. § 7. Электропроводность Пусть на систему наложено только электрическое поле E , и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем (– ¶ f 0 / ¶ E ) v k eE = – ( ¶ f 0 / ¶ t)] scatt = (f k – f k )Q(k,k )dk = (g k – g k )Q(k,k )dk (49) Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции g k . Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем фено менологическое предположение: – ¶ f k / ¶ t] scatt = g k / t (50) Тем самым мы вводим время релаксации t . При выключении поля любое отклонение g k от равновесного распределения будет затухать по закону – ¶ g k / ¶ t = g k / t , (51) или g k (t) = g k (0)e – t / t . (52) Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим g k = (– ¶ f 0 / ¶ E ) t v k eE (53) Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока (54) Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во вни мание, что f 0 k ev k (r)dk 0, использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k -пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии. В металле функция (– ¶ f 0 / ¶ E ) ведет себя как d -функция от ( E – z ) , поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом, (55) Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой J = s E , (56) где s – тензор.

Получим (57) Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии, при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помно женному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть (v k v k E) = v 2 x E, (58) что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v 2 E . Поэтому (5 9 ) где мы ввели длину свободного пробега L = t v . (6 0 ) Это есть основная формула для электропроводности.

Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения f k , заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция g k велика только вблизи поверхности Ферми. Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где v k eE >0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.

Фактически по теореме Тейлора можно написать (61) Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k -п po странстве на величину ( e t / ) E . Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.

Отметим, однако, что электропроводность не зависит от тем пературы (если не считать возможной температурной зависи мости t ). Эта же формула справедлива при T = 0, когда рас пределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми.

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде f k = f 0 ( E k + e t v k E), (62) как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась вели чина d E k = e t v k E. (63) Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью v k двигался в поле E в течение интервала времени t . Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач. Доба вочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкно вениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости d v в направлении поля; именно d v( ¶ E / ¶ v) = evE t , (64) или для классической частицы массы m d v( ¶ E / ¶ v) = evE t / mv. (65) Пусть концентрация частиц есть n , тогда полная плотность тока равна J = ne d v, (66) и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим s = ne 2 t / m . (7.33) Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их.

Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрей фовую скорость.

Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учиты вает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi . С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под п следует понимать кон центрацию свободных носителей заряда.