Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Классические уравнения математической физики являются линейными.

Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция a U + b V при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений.

Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование. Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д.

Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов. Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений.

Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА §1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний.

Простейшее уравнение гиперболического типа называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д. 1.1.1. Уравнение колебаний струны. В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.

Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины в начальный момент направлена по отрезку оси О x от 0 до Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией x в момент t .

		x

Искомая функция должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства: (2’) (2’’) Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f ( x ). Таким образом, должно быть (3’) Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией (3’’) Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть или и 1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах. Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах.

Электрический ток в проводе характеризуется величиной i ( x , t ) и напряжением v ( x , t ), которые зависят от координаты x точки провода и от времени t . Рассматривая элемент провода равно (4) где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v . Сокращая на (5) Далее, разность токов, выходящего из элемента и входящего в него за время Она расходуется на зарядку элемента, равную (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на (6) Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями. Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i ( x , t ), и уравнение, содержащее только искомую функцию v ( x , t ). Продифференцируем члены уравнения (6) по x ; члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим: Подставляя в последнее уравнение выражение из уравнения (5), получим: или (7) Аналогичным образом получается уравнение для определения v ( x , t ): (8) Если пренебречь утечкой через изоляцию и сопротивлением где обозначено: §1.2. Метод разделения переменных. 1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны. Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными.

Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения удовлетворяющее однородным граничным условиям (9) и начальным условиям (10) Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям (11) и представимое в виде произведения (12) где X ( x ) – функция только переменного x , T ( t ) – функция только переменного t . Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим: или, после деления на XT , (13) Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t , а левая – только х.

Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение (14) где – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X ( x ) и T ( t ) (15) (16) Граничные условия (11) дают: Отсюда следует, что функция X ( x ) должна удовлетворять дополнительным условиям: X (0) = X ( ) = 0, (17) Так как иначе мы имели бы в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T ( t ) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет. Таким образом, в связи с нахождением функции X ( x ) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти те значения параметра (18) а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен. 1. При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений.

Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид Граничные условия дают: Х (0) = С 1 + С 2 = 0; т. е. Но в рассматриваемом случае – действительно и положительно, так что С 1 =0, С 2 = 0 и, следовательно, Х (х) 2. При = 0 также не существует нетривиальных решений.

Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид Х (х) = С 1 х + С 2 . Граничные условия дают: т. е. С 1 = 0 и С 2 = 0 и, следовательно, Х (х) 3. При › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде Граничные условия дают: Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D 2 (19) или где n - любое целое число.

Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях Этим собственным значениям соответствуют собственные функции где D n – произвольная постоянная. Итак, только при значениях (20) существуют нетривиальные решения задачи (11) (21) определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9) (22) где A n и B n – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции (23) являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t . Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j (x) и y (x). Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений (24) также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить A n и B n . Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10) (25) Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f ( x ), заданная в промежутке (26) где (27) Если функции j (x) и y (x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то (28) (29) Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить (30) чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи. Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты A n и B n определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u ( x , t ), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10). Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а - один раз дифференцируемой. Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА §2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. 2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.

Рассмотрим однородный стержень длины Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х =

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х 1 и х 2 (х 2 – х 1 = 1 за время (2) то же самое с абсциссой х 2 : (3) Приток 1 - Q 2 в элемент стержня за время (4) Этот приток тепла за время или (5) где с – теплоемкость вещества стержня, – плотность вещества стержня ( Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла

Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные.

Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для u (x, 0) = (x), (7) u (0, t) = 1 (t), (8) u ( , t) = 2 (t). (9) Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при в разных сечениях стержня задана температура, равная (x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная 1 (t) и 2 (t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области 2.1.2. Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u (x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку (1)) (10) где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по нормали к площадке где – направляющие косинусы вектора n, или Подставляя выражение в формулу (10), получаем: Q = -k n grad u s. Количество тепла, протекающего за время t через площадку s, будет равно: Q t = -k n grad u t s. Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно: (11) где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V (или уходящего из объема V) за время Рассмотрим элементарный объем где с – теплоемкость вещества, – плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время Но это есть тепло, поступающее в объем V за время Сокращая на (12) Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F – дивергенция векторного поля, – замкнутая поверхность) полагая F = k grad u: Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (12), тройным интегралом, получим:

Задача о распространении температурных волн в почве является одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений природы.

Температура на поверхности земли носит, как известно, ярко выраженную суточную и годовую периодичность.

Обратимся к задаче о распространении периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство найти ограниченное решение уравнения теплопроводности (1) удовлетворяющее условию u (0, t) = A cos (2) Предполагается, что функции u ( x , t ) и m ( t ) ограничены всюду, т.е. Запишем граничное условие в виде (2’) Из линейности уравнения теплопроводности следует, что действительная и мнимая части некоторого комплексного решения уравнения теплопроводности каждая в отдельности удовлетворяет тому же решению. Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее условию (2’), то его действительная часть удовлетворяет условию (2), а мнимая – условию Итак, рассмотрим задачу: (3) Ее решение будем искать в виде (4) где и - неопределенные пока постоянные.

Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим: откуда Для u ( x , t ) имеем: (5) Действительная часть этого решения (6) удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному условию (2). Формула (6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а две функции.

Однако только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем в виде (7) На основании полученного решения можно дать следующую характеристику процесса распространения температурной волны в почве. Если температура поверхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаются колебания температуры с тем же периодом, причем: 1.Амплитуда колебаний экспоненционально убывает с глубиной т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон Фурье). 2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине (второй закон Фурье). 3. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности.

Относительное изменение температурной амплитуды равно Эта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина проникновения температуры. Для температурных колебаний с периодами Т 1 и Т 2 глубины x 1 и x 2 , на которых происходит одинаковое относительное изменение температуры, связаны соотношением (третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и годовых колебаний, для которых Т 2 = 365 Т 1 , показывает, что т.е. что глубина проникновения годовых колебаний при одинаковой амплитуде на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины проникновения суточных колебаний.

Следует, однако, иметь в виду, что изложенная здесь теория относится к распространению тепла в сухой почве или горных породах.

Наличие влаги усложняет температурные явления в почве, при замерзании происходит выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.

Температуропроводность является одной из характеристик тела, важных для изучения его физических свойств, а также для различных технических расчетов. На изучении распространения температурных волн в стержнях основан один из лабораторных методов определения температуропроводности. Пусть на конце достаточно длинного стержня поддерживается периодическая температура ( t ). Представив эту функцию в виде ряда Фурье где Т – период, и взяв температурные волны, соответствующие каждому слагаемому, получим, что температура u ( x , t ) для любого x будет периодической функцией времени и ее n -я гармоника равна или Эта формула показывает, что если произвести измерение температуры в каких-нибудь двух точках, x 1 и x 2 , за полный период, то, находя коэффициенты a n ( x 1 ), b n ( x 1 ), a n ( x 2 ), b n ( x 2 ) при помощи гармонического анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержня а 2 . Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. §3.1. Дифракция излучения на сферической частице.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице. Как известно, в случае монохроматического излучения частоты система уравнений Максвелла сводится к системе уравнений для напряженностей электрического и магнитного полей: (1) где - волновое число для пустоты; с 0 – скорость света в вакууме.

Обозначим через k = k 0 m – волновое число в среде с комплексным показателем преломления m = n – ix . Показатели преломления и поглощения ( n и x ) называются оптическими постоянными, их зависимость от w обычно известна из эксперимента.

Задача о разыскании шести неизвестных функций ( U 1 и U 2 ), которые являются решениями колебательного уравнения.

Получим их по методу Фурье в виде бесконечных сумм частных решений с неопределенными коэффициентами, которые определяются «сшиванием» значений внутри и снаружи сферы. Через найденные потенциалы составляющие полей легко вычисляются дифференцированием. Пусть на сферическую частицу радиуса а, центр которой совмещен с началом координат, в отрицательном напрвлении оси Oz падает линейно поляризованная плоская волна (рис 4.). Ось Ox является направлением электрических колебаний, а ось Oy – магнитных.

Электрическое и магнитное поля в падающей волне описываются формулами: (2) где k a = m a k 0 – величина волнового вектора падающего излучения во внешней среде с вещественным показателем преломления m a .

Произвольное электромагнитное поле будем представлять как суперпозицию двух типов колебаний.

Первый тип назовем электрическими колебаниями и будем считать, что у этих колебаний радиальная составляющая магнитного поля во всех точках равна нулю: (9) Второй тип – магнитные колебания: (10) В случае электрических колебаний из уравнения (6) получим Это соотношение, очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что есть производные от некоторой третьей функции Подставляя эти соотношения в формулы (4) и (5) получим Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить где - некоторая новая функция. Тогда найдем ввести (11) тогда как (7) и (8) приводятся к одному и тому же волновому уравнению для функции (12) Используя указанные выше соотношения и заменяя в выражении для производные по через производные по r из уравнения (12), получим следующие соотношения: (13) которые выражают все составляющие полей для случая через одну функцию - потенциал электрических колебаний.

Подставив эти выражения в уравнение (3) – (8), легко убедиться в том, что равенства (13) образуют решение уравнений Максвелла, если U 1 является решением волнового уравнения.

Аналогично для магнитных колебаний все составляющие полей могут быть выражены через некоторую функцию - потенциал магнитных колебаний. В общем случае в поле присутствуют колебания обоих типов. Для составляющих полей получим при этом следующие выражения: (14) Функции U 1 и U 2 являются решением волнового уравнения. (15) которое будем решать по методу Фурье (значок у U временно опущен, он появится при рассмотрении граничных условий, которые для U 1 и U 2 различны). В качестве частного решения положим (16) Подставляя (16) в (13) и разделяя переменные, получим для f и Y следующие уравнения: (17) (18) Уравнение для Y имеет однозначное и непрерывное решение на всей сфере только для n = 0, 1, 2… В этом случае его решением являются сферические функции: (19) где а - полином Лежандра. В уравнении (17) сделаем подстановку R n ( x ) получим следующее уравнение ( x = kr ): (20) Это уравнение Бесселя и его решением являются цилиндрические функции с полуцелым индексом n -е частное решение уравнения (15) будет (21) Из всех цилиндрических функций только бесселевы функции первого рода конечны в нуле.

Поэтому только они могут быть использованы для решения внутри шара. Вне шара, в соответствии с принципом излучения, решение должно иметь характер расходящейся волны. Так как временной множитель выбран в виде дает волну, расходящуюся из источника дифракции (22) тогда частное решение, очевидно, следует представить в виде суперпозиции частных решений с неопределенными коэффициентами, которые вычисляются из граничных условий.

Граничные условия для потенциалов U 1 и U 2 на шаре получаются из требования непрерывности тангенциальных ( (23) (24) где U a – потенциал дифрагированного поля, а U i – внутреннего.

Представим теперь электрический и магнитный потенциалы падающей волны также в виде рядов по (25) Тогда после преобразований получим: (26) Потенциалы и должны иметь такую же угловую зависимость, как и потенциалы падающего поля.

Поэтому можно записать: (27) (28) Коэффициенты должны быть определены из условий (23), (24), которые образуют относительно пар коэффициентов и с данным значком две независимые системы по два линейных уравнения.

Запишем их, введя следующие обозначения: - относительный (комплексный) показатель преломления, - длина волны излучения. Для и имеем: (29) Аналогичная система получается для и (30) Решая эти системы относительно и (31) Аналогичные выражения получаются и для и 0 : (32) Штрихи всюду означают производные по аргументу, указанному под знаком функции ( и E r и H r по сравнению с составляющими по и (33) (34) и применяя асимптоматические выражения для функций при (35) Согласно этим формулам, дифрагированное поле представляется в виде сумм отдельных парциальных волн.

Интенсивность возбуждения Поле вне частицы есть суперпозиция падающего и дифрагированного полей: (36) Средняя по времени величина вектора потока энергии определяется (37) где - вектор, комплексно сопряженный к - поток падающего поля, - дифрагированного поля и - поток, обязанный интерференции падающего и рассеянного излучений.

Определим величины сечений поглощения с п и рассеяния с р излучения частицей (38) где J 0 – интенсивность падающего излучения, - радиальные составляющие потоков, - элемент телесного угла, а - элемент площади на сфере. Все интегралы распространены по сфере.

Полное ослабление потока в результате прохождения им частицы будет складываться из рассеяния и поглощения, т.е. для сечения ослабления излучения частицей имеем с = с п + с р . Поскольку поток падающего излучения постоянен по направлению, то и для искомых сечений получим (39) (40) Рассмотрим интеграл в (39). Имеем Подставляя сюда выражение (32) для полей, выполняя интегрирование по и группируя соответствующим образом члены, получим двойную сумму следующих двух типов выражений: Сумма будет иметь общий множитель равна нулю при Заключение В дипломной работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, электрические колебания в проводах, распространение тепла в стержне и пространстве, распространение температурных волн в почве, дифракция излучения на сферической частице.

Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере – температурные волны. В третьей главе рассматривается вывод уравнения дифракции излучения на сферической частице.